Ache a derivada da função:

g(x) = e^(cos(x^3))

Passo 1

Bora lá. Pra começar, podemos identificar que essa função é uma função composta. Afinal, se definirmos:

m x = e x

n x = cos ⁡ x 3

É como se tivéssemos o n dentro do m , logo:

g x = m n x = e cos ⁡ x 3

Nesses casos galera, temos que usar uma regra da cadeia. Aplicando ela, temos:

g ' x = m ' n x ∙ n ' x

Como m ' x = e x , o resultado vai ser:

g ' x = e cos ⁡ x 3 ∙ cos ⁡ x 3 '

Passo 2

Ok, mas não acabamos ainda né! Temos uma outra derivada pra fazer! E ela acaba precisando de regra da cadeia também, afinal, podemos entender também:

cos ⁡ x 3 ' = m n x '

Onde, dessa vez, temos:

m x = cos ⁡ x   →       m ' x = - sin ⁡ x

n x = x 3   →       n ' x = 3 x 2

Pela famosa regra da cadeia, temos:

cos ⁡ x 3 ' = m n x ' = m ' n x ∙ n ' x

cos ⁡ x 3 ' = - sin ⁡ x 3 ∙ 3 x 2 = - 3 x 2 sin ⁡ x 3

E juntando com o resultado do passo anterior, temos:

g ' x = e cos ⁡ x 3 ∙ cos ⁡ x 3 '

g ' x = e cos ⁡ x 3 ∙ - 3 x 2 sin ⁡ x 3

Resposta

g ' x = e cos ⁡ x 3 ∙ - 3 x 2 sin ⁡ x 3

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