b) Derive. Simplifique sua resposta quando possível:

x sin ⁡ x

Passo 1

Quando vemos uma função do tipo, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é usar propriedades da exponencial. Dá uma olhada que sagaz:

f x = e ln ⁡ f x

Bem, já que é assim, seja:

f x = x sin ⁡ x

Então vamos ter:

f x = e ln ⁡ x sin ⁡ x = e sin ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Quer ver porque isso facilita nossa vida? Dá uma olhada nessa regra de derivação para exponenciais:

d d x e g x = e g x ∙ g ' x

E não é que essa regra se aplica aqui? Se fizermos

g x = sin ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Calculamos g ' x pela regra do produto, e logo:

g ' x = sin ⁡ x ln ⁡ x ' + sin ⁡ x   ' ln ⁡ x +

g ' x = cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x

A derivada fica então:

d d x e sin ⁡ x   ∙   ln ⁡ x = e sin ⁡ x   ∙   ln ⁡ x ∙ sin ⁡ x x + cos ⁡ x ln ⁡ x

Mas como

e sin ⁡ x   ∙   ln ⁡ x = x sin ⁡ x

Vamos ter que:

d d x x sin ⁡ x = x sin ⁡ x ∙ sin ⁡ x x + cos ⁡ x ln ⁡ x

Resposta

d d x x sin ⁡ x = x sin ⁡ x ∙ sin ⁡ x x + cos ⁡ x ln ⁡ x

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