UFSC; Cálculo 1; Lista 2.6 – Regras de derivação; Exercício C12a
C12) As outras funções hiperbólicas são definidas como abaixo.
Tangente hiperbólica. .
Cotangente hiperbólica. .
Secante hiperbólica. .
Cossecante hiperbólica. .
Calcule o que se pede.
a) A derivada de .
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse enunciado nos pede para calcularmos a derivada de .
O próprio enunciado nos falou que .
E, também conhecemos quem são e , não é mesmo?
Já que sabemos de tudo isso, podemos realizar a seguinte substituição:
Isso pode ser reescrito como:
Agora o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função encontrada!
Passo 2
Nesse passo realizaremos o cálculo. Começando:
Como temos a divisão entre funções, precisamos usar a seguinte propriedade:
Sendo:
Portanto, vamos aplicar a regra. Para facilitar as nossas contas, podemos encontrar e .
Primeiro faremos :
Como é uma subtração entre funções de , precisamos calcular a derivada separadamente.
Em , a derivada é uma substituição direta, sendo .
Já em , teremos que utilizar a regra da cadeia, sendo e .
Relembrando, a regra da cadeira é . Então:
Juntando os termos:
Agora faremos :
Como é uma soma entre funções de , precisamos calcular a derivada separadamente.
Em , a derivada é uma substituição direta, sendo .
Já em , teremos que utilizar a regra da cadeia, sendo e .
Então:
Juntando os termos:
Voltando para a divisão de funções, podemos substituir todos os termos:
Passo 3
Continuando a resolução, podemos realizar as multiplicações distributivas:
Perceba que é o mesmo que que é o mesmo que . Então:
Agora podemos tirar os termos do colchete, respeitando o sinal de menos:
Simplificando os termos opostos:
Beleza! Aqui tem uma sacada bem legal. Essa derivada pode ser reescrita como:
Aqui temos a grande chave do nosso exercício. Encontramos exatamente os mesmos termos de , porém de maneira inversa. Como se estivesse escrito na forma . O nosso enunciado nos falou que , então podemos reescrever nossa derivada como:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?