UFSC; Cálculo 1; Lista 2.6 – Regras de derivação; Exercício C12c
C12) As outras funções hiperbólicas são definidas como abaixo.
Tangente hiperbólica. .
Cotangente hiperbólica. .
Secante hiperbólica. .
Cossecante hiperbólica. .
Calcule o que se pede.
c) A derivada de .
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse enunciado nos pede para calcularmos a derivada de .
O próprio enunciado nos falou que .
E, também conhecemos quem é , não é mesmo?
Já que sabemos de tudo isso, podemos realizar a seguinte substituição:
Isso pode ser reescrito como:
Agora o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função encontrada!
Passo 2
Nesse passo realizaremos o cálculo. Começando:
Temos uma outra maneira de escrevermos essa função:
Para derivarmos isso, teremos:
Essa derivada deve ser calculada com a regra da cadeia, sendo e .
Relembrando, a regra da cadeia nos fala que: .
Então:
Passo 3
Veja que a regra da cadeia do passo anterior gerou uma nova função a ser derivada.
Vamos chamar essa função de .
Como é uma soma entre funções de , precisamos calcular a derivada separadamente.
Em , a derivada é uma substituição direta, sendo .
Já em , teremos que utilizar a regra da cadeira, sendo e .
Então:
Juntando os termos:
Agora podemos juntar tudo!
Reescrevendo:
Aqui temos a grande chave do exercício.
Primeiro temos que é exatamente o inverso de , ou seja . O enunciado nos fala que , então teremos:
Agora temos que reparar que .
Como:
Podemos reescrever:
Simplificando:
Olha que legal! é exatamente o termo que ficou na nossa derivada!
Então:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?