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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 2.9.b.a

Para cada uma das funções f   ( x )   =   u   ( x )   v ( x ) , em que u   ( x ) e v   ( x ) são dadas a seguir, faça o que se pede

(b) u   ( x )   =   s e n ( x ) e v   ( x ) = x 2

f   ( x )   =   [ s e n ( x ) ] x 2  

(b.a) Reescreva f (x), usando uma propriedade dos logaritmos, como

  f   ( x )   =   e   l n ( u ( x )   v ( x )   ) =   e v ( x )   l n ( u ( x ) ) =   ( h   ◦   g )   ( x )

em que g   ( x )   =   v   ( x )   l n   ( u   ( x ) ) e h   ( x )   = e   x   . Em seguida, use a regra da cadeia para obter f   ′   ( x ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que derivar a função:

  f   ( x )   = [ s e n ( x ) ] x 2  

Tendo u   ( x )   =   s e n ( x ) e v   ( x ) = x 2 , vamos reescrever da seguinte forma:

  f   ( x )   =   e   l n ( u ( x )   v ( x )   ) =   e v ( x )   l n ( u ( x ) ) =   ( h   ◦   g )   ( x )

E utilizando a regra da cadeia temos que:

f '   ( x ) = d h d g d g d x

Sendo g   ( x )   =   v   ( x )   l n   ( u   ( x ) ) e h   ( x )   = e   x   . Então vamos lá!

Passo 2

Temos que:

u   ( x )   =   s e n ( x ) e v   ( x ) = x 2

vamos reescrever da seguinte forma:

  f   ( x )   =   e   l n ( s e n ( x ) ( x 2 )   ) =   e x 2   l n ( s e n   x ) =   ( h   ◦   g )   ( x )

Onde,

g   ( x )   = x 2   l n   ( s e n   x ) e h   ( x )   = e   x  

Passo 3

Utilizando a regra da cadeia, tomamos a derivada:

f '   ( x ) = d h d g d g d x = d e g d g d ( x 2   l n   ( s e n   x ) ) d x =   e x 2   l n   ( s e n   x ) ( 2 x   l n   ( s e n   x ) + x 2 c o s   x s e n   x ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f '   ( x ) =   e x 2   l n   ( s e n   x ) ( 2 x   l n   ( s e n   x ) + x 2 c o s   x s e n   x ) .

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