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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista sobre Derivadas, Questão 8.17

Calcule a derivada de

h ( x )   =   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6   ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16   ,   x   >   0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a derivada da função

h ( x )   =   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6   ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16   ,   x   >   0 .

Para isso, vamos utilizar a regra do quociente, pois temos uma fração, a regra do produto e a regra da cadeia.

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar a derivada da função:

d h d x = d d x (   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6   ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 )

Vamos utilizar a regra do quociente:

d h d x = d d x (   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 ) [ ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 ] -   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 d d x [ ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 ] ( ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 ) 2

Agora vamos utilizar a regra do produto e a regra da cadeia:

d h d x = ( 2 ( x   +   1 )   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 + 4 ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 3   ( x   +   3 ) 6 + 6 ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 5 ) ( ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 )

-   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 [ 8 ( x   +   4 ) 7   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 + 10 ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 9 ( x   +   8 ) 16 + 16 ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 15 ] ( ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 ) 2

Organizando:

d h d x = ( 2 ( x   +   1 )   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 + 4 ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 3   ( x   +   3 ) 6 + 6 ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 5 ) ( ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 )

-   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 [ 8   ( x   +   6 ) ( x   +   8 ) + 10 ( x   +   4 ) ( x   +   8 ) + 16 ( x   +   4 )   ( x   +   6 ) ] ( ( x   +   4 ) 9   ( x   +   6 ) 11 ( x   +   8 ) 17 ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d h d x = ( 2 ( x   +   1 )   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 + 4 ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 3   ( x   +   3 ) 6 + 6 ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 5 ) ( ( x   +   4 ) 8   ( x   +   6 ) 10 ( x   +   8 ) 16 )

-   ( x   +   1 ) 2   ( x   +   2 ) 4   ( x   +   3 ) 6 [ 8   ( x   +   6 ) ( x   +   8 ) + 10 ( x   +   4 ) ( x   +   8 ) + 16 ( x   +   4 )   ( x   +   6 ) ] ( ( x   +   4 ) 9   ( x   +   6 ) 11 ( x   +   8 ) 17 ) .

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