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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 5, Questão 4c

Calcule a derivada

f ( x ) = ( x 2   +   3 x   +   1 ) ( x 3   +   5 x   +   2 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a derivada de

f ( x ) = ( x 2   +   3 x   +   1 ) ( x 3   +   5 x   +   2 )

Para isso, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos derivar

f ( x ) = ( x 2   +   3 x   +   1 ) ( x 3   +   5 x   +   2 )

Vamos usar a regra do produto e a linearidade da derivada:

se f ( x ) = g ( x ) * h ( x )

então

f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

então a derivada fica

= ( x 2   +   3 x   +   1 ) ' ( x 3   +   5 x   +   2 ) + ( x 2   +   3 x   +   1 ) ( x 3   +   5 x   +   2 ) '

Calculando as derivadas

= ( 2 x   +   3 ) ( x 3   +   5 x   +   2 ) + ( x 2   +   3 x   +   1 ) ( 3 x 2   +   5 )

desenvolvendo

= ( 2 x 4   +   10 x 2   +   4 x + 3 x 3 + 15 x + 6 ) + ( 3 x 4   +   9 x 3   +   3 x 2 + 5 x 2 + 15 x + 5 )

Juntando tudo

= ( 5 x 4   + 12 x 3 +   18 x 2   +   34 x + 11 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= ( 5 x 4   + 12 x 3 +   18 x 2   +   34 x + 11 )

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