UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 2f.
2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(f)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Essa questão foi bem direta com a gente. Temos que calcular a derivada da função , onde
Minha nossa!! Parece muito complexa! Uma raiz dentro de outra raiz?? E agora? 🤔🤔
Para resolver essa derivada, certamente vamos usar a regra da cadeia. Sabe como aplicamos ela?
A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Quando isso acontece, montamos a derivada a partir da seguinte frase “a derivada da função de dentro · a derivada da função de fora”
Para calcular a derivada da função de fora vamos substituir a função que está contida por uma variável qualquer. Por exemplo
Onde é a variável que escolhemos para substituir
Entendeu? Vamos ver no caso da nossa função!
Passo 2
Então bora calcular essa derivada!
Quando temos uma função dentro de uma raiz, o melhor a se fazer é aplicar a regra da cadeia.
Ou seja, a derivada de dentro · derivada de fora. Onde vamos chamar
Sabemos que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então podemos escrever a derivada de como
E como vimos antes, a derivada de uma função dentro de uma raiz, é calculada a partir da regra da cadeia. Logo, considerando
Substituindo esses valores em etapa por etapa, temos
O que devemos calcular é
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas separadamente e substituir na equação abaixo
Primeiro calculamos a derivada
Subtraindo da potencia de , temos
Todo número elevado a , é igual a , então
Agora vamos calcular a derivada
Temos uma constante, então podemos botar ela para fora da derivada
Acabamos de calcular a derivada de , logo
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada
Perceba que a função , diferenciando apenas as variáveis, com isso, a derivada das duas serão iguais, apenas com a variável diferente.
Podemos escrever essa função como
Pelo derrubando a potência e subtraindo do expoente, temos
Isso é a mesma coisa de escrever
Se a derivada de e são análogas, podemos afirmar que
Entendeu?
Passo 5
Por fim, vamos substituir os valores que calculamos em
Substituindo por e por de volta à equação, temos
Simplificando um pouco mais o resultado
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
