UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 2g.
2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(g)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, o enunciado e o objetivo foram bem diretos. Temos uma função e devemos calcular sua derivada por meio de algum método.
Se essa questão caísse na prova, o que faríamos??
Não! Chorar não é uma opção! Nós vamos resolve-la e tirar um 10!
Analisando a função , vemos que ela é uma função composta, ou seja, tem uma função entro de outra função.
Podemos escrever como
Onde e
Quando temos esses casos, devemos usar a regra da cadeia para derivar . Sabe do que se trata essa regra?
A regra da cadeia é um método que consiste em derivar a função que está contida dentro da outra e multiplicar pela derivada da função que contém, substituindo a função contida por uma variável qualquer.
Veja só!
Passo 2
De modo geral, escrevemos como
Para funções do tipo
Ou seja, como já identificamos e no passo anterior e substituindo por em , temos
Mas espera aí! A derivada de pode ser calculada pela regra do produto, onde calculamos a derivada da primeira função · a segunda função + a primeira função · a derivada da segunda. Olhe só.
Mas espera aí de novo! A derivada de é calculada pela regra da cadeia também já que , onde . Ou seja
Substituindo em e posteriormente em , temos
Virou um mix de regrinhas e métodos. Mas relaxa! Tudo isso vem para nos ajudar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas separadamente para facilitar a visualização do que estamos fazendo.
primeiro vamos calcular a derivada de .
Sabemos que a derivada de uma variável de ordem é igual a constante que a multiplica, ou seja
Calculando a derivada de . Por derivação de polinômios multiplicamos a variável pelo seu expoente e subtraímos da potência.
A próxima é a derivada de . Podemos escrever como e derivar como um polinômio, veja só.
Por fim, a derivada de é dada diretamente como
Substituindo esses resultados em , temos
Entendeu?
Passo 4
Substituindo por e por de volta, temos
Vamos simplificar a equação
Com isso, chegamos ao resultado
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
