UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 2h.
2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(h)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
A questão foi bem direta com a gente, não foi?
A ideia principal é calcular a derivada de , onde
Para obter a derivada de , temos que ter em mente duas coisas que vamos usar para facilitar nossa vida.
A primeira é ter o entendimento da regra do quociente. Perceba que é dada pelo quociente de duas funções que vamos chamar de e , veja só
Logo vemos que e . A regra quociente diz que se é dada pelo quociente de duas funções e , então a derivada de é dada por
Entendeu?
Passo 2
A outra coisa que temos que ter em mente é a regra da cadeia. Essa regra diz que quando temos uma função composta, no caso, a derivada de é dada por
Perceba que é uma função composta pois podemos escreve-la como
Onde e substituindo por uma variável , temos uma nova função .
Com isso, quando fomos calcular , temos que aplicar essa regra!
Entendido?
Passo 3
Vamos começar nossos cálculos.
Como dito no início, vamos usar a regra do quociente onde e
Assustador, não é?
Mas relaxa, vamos passar por essa juntos!
Como dito no passo 2 quando calcularmos vamos ter que usar a regra da cadeia, ou seja “a derivada de dentro · a derivada de fora”
Substituindo essa informação em , temos
Vamos calcular uma derivada de cada vez pra facilitar o entendimento do que estamos fazendo.
Bora lá!
Passo 4
Primeiro vamos calcular a derivada de . Essa é uma derivada de polinômio, logo aplicamos a regrinha de multiplicar a variável pela potência e subtrair do expoente. Veja só!
A próxima derivada é a derivada de . Partindo do mesmo princípio de derivada de polinômios, lembrando que a derivada de uma constante é , então
Por fim, a derivada de também é obtida a partir da mesma ideia das anteriores: “derruba a potência e subtrai do expoente”
Mas lembre-se que não podemos deixar a resposta em função de , então temos que voltar para , então
Substituindo essas respostas em , vamos poder obter a resposta final.
Está acompanhando?
Passo 5
Nossa derivada de é então
Podemos simplificar o quociente. Quando temos uma potência de uma potência, unimos multiplicando-as
Com isso, a resposta da derivada de é
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
