UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 2i.
2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(i)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, temos que obter a derivada de onde
Minha nossa! ? Não faço ideia de como é a derivada disso!
Para a derivada de funções trigonométricas, inversas de trigonométricas ou de por exemplo, temos que decorar.
Mas não se preocupe! Com a prática fica tudo mais fácil.
Para obter nosso resultado, temos que ter em mente a definição da regra da cadeia. Sabe do que se trata esse método?
Quanto temos uma função composta, como no nosso caso de , podemos obter a derivada de de forma mais tranquila se aplicarmos a regra da cadeia.
Uma função composta tem a cara de , comparando com nossa função, podemos concluir que e .
Com isso, a regra diz que a derivada de é dada pela derivada da função multiplicada pela derivada da função substituindo por uma variável qualquer.
Também é muito conhecida pela frase “a derivada de dentro · a derivada de fora”.
Entendeu? Bora lá!
Passo 2
Já separamos em e , então pela regra da cadeia, a derivada de será
Perceba que substituímos por na derivada de
Com isso, temos
A derivada de pode ser obtida por derivação de polinômios. Nesse caso multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente. Lembrando que a derivada de uma constante é .
Agora a derivada de não é trivial, então temos que decorar assim como decoramos a derivada do e do . Então de forma mais direta
Porém, não podemos deixar a resposta em função de , então temos que voltar a ser
Bacana, não é?
Passo 3
Por fim, substituímos os resultados que encontramos em
Com isso, nossa derivada de é obtida como
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
