UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 2j.
2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(j)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Essa questão chegou chegando e já mandou a gente calcular a derivada de uma função onde
Parece difícil? Como acha que podemos começar a resolver essa derivada??
Antes de iniciar o cálculo da nossa derivada temos q ter ideia de dois conceitos que vão facilitar nossa vida nesse exemplo.
O primeiro de todos é saber manipular expoentes, no nosso exemplo, temos .
Sabemos que quando temos de dois valores em que a base é igual e os expoentes são diferentes, somamos os expoentes e mantemos a base. Por exemplo
Mas e quando temos uma potência elevada a outra potência?
Nesse caso devemos manter a base e multiplicar os expoentes. Por exemplo
O outro conceito é com relação a regra da cadeia para derivar uma função composta.
Quando temos uma função composta do tipo a derivada de é dada como , substituindo por uma variável qualquer em .
Com esses conceitos em mente, bora partir para nossos cálculos! 😉😉
Passo 2
Analisando a função vemos que podemos aplicar o conceito que acabamos de aprender sobre as potências. Então podemos reescrever como
Temos uma função que parece ser um pouco menos complicada, não é?
Agora vamos partir para o cálculo da derivada de
Perceba que é uma função composta, já que onde e .
A princípio pode não ser tão simples identificar o momento de se usar a regra da cadeia por não conseguirmos identificar uma função composta.
Mas vai uma dica! Se temos uma função , , , ou qualquer uma trigonométrica onde a variável não é apenas , usamos a regra da cadeia.
Já identificamos e na nossa função , vamos montar a derivada.
Perceba que já substituímos por uma variável qualquer em .
Está compreendendo?
Passo 3
Vamos calcular uma derivada de cada vez para facilitar o entendimento do que estamos fazendo, depois juntamos tudo novamente em .
Primeiro calculando a derivada de . Por derivada de polinômios, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente.
Agora para a derivada de , a solução é bem simples já que a derivada de é a própria !
Porém não podemos deixar em função de , então temos que devolver a ela substituindo por de volta.
Por fim, substituímos esses resultados em e obtemos o resultado!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
