UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 2k.
2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(k)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Para resolver essa questão, vamos calcular a derivada de onde
O que podemos afirmar só de olhar para ?? 🤔🤔
Analisando a função, podemos prever que vamos ter que aplicar dois conceitos para obter a derivada de .
Observe que temos um produto de duas funções em onde . Comparando com nossa função podemos afirmar que e .
Com isso, vamos ter que aplicar o conceito da regra do produto para a derivada.
Esse conceito diz que quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, a derivada é dada por
Pra lembrar dessa regra sem decorar a formula, decoramos a frase “a derivada da primeira · a segunda + a primeira · a derivada da segunda”.
Mais fácil, não é? 😎
Passo 2
Perceba que na regra do produto, vamos ter que calcular , onde . Aí que entra o segundo conceito que temos que ter em mente: a regra da cadeia!
Perceba que é uma função composta do tipo onde e .
Quando temos isso, devemos aplicar a regra da cadeia que diz que a derivada de uma função composta é dada por
Em , substituímos por uma constante qualquer e depois de calculado a derivada, voltamos em .
É isso! Bora montar nossa derivada? 😁
Pela regra do produto, temos
Porém, em , temos que aplicar a regra da cadeia, então vamos ter
Substituindo essa informação em , temos
A pior parte já foi! Agora é partir para o abraço.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas separadamente pra evitar que a gente se confunda no caminho.
Primeiro calculamos a derivada de , por derivada de polinômios multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente.
Partindo do mesmo princípio a derivada de é dada por
Já a derivada de nem precisamos nos preocupar, já que o resultado é a própria função .
Porém não podemos deixar o resultado em função de , então substituímos por de volta.
Bacana, não é? 🤩
Passo 4
Substituindo os resultados em , temos
Simplificando a equação, temos
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
