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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – REOF – Questão 3b

Calcule a derivada das funções abaixo

b )   f x = arctan 4 ⁡ ( e 7 x + 1 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão pede para encontrarmos a derivada dessa função aqui

f x = arctan 4 ⁡ ( e 7 x + 1 )

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

Você começa lembrando das regras de derivação que aprendemos! Como essa função não está exatamente na lista de fórmulas (derivada de polinômio, trigonométrica, exponencial, etc...) precisamos tentar enxergar a função como um produto/quociente/função composta e aplicar as regras!

Belezinha até aqui?

Nada mais justo do que lembrarmos delas...

Regra do produto

f g ' = f ' g + g ' f

Regra do quociente

f g ' = f ' g - g ' f g 2

Regra da cadeia

f g ' = f ' g .   g '

Agora que relembramos, vamos olhar com mais carinho para nossa função

arctan 4 ⁡ e 7 x + 1

Ela pode ser vista como uma função elevada na quarta potência arctan ⁡ e 7 x + 1 4 , sendo assim podemos usar a regra da cadeia

Mas e a derivada de dentro? Ah, ela é novamente uma função dentro da outra, pois a função arco tangente tem como argumento uma função exponencial... então aqui vamos aplicar novamente a regra da cadeia

E dentro da exponencial? Temos outra função! Um polinômio de primeiro grau, sendo assim, mais regra da cadeia...

Então é isso, a ideia aqui é ir aplicando as regras de derivação nas partes da função e ir desenrolando esse negócio! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos derivar essa função

arctan 4 ⁡ e 7 x + 1

Então vamos aplicar primeiro a regra da cadeia

f g ' = f ' g . g '

No nosso caso g = arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) e a função de fora é x 4 :

arctan 4 ⁡ ( e 7 x + 1 ) ' = 4 arctan 3 ⁡ e 7 x + 1 . arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) '

Tudo bem até aqui? Guarda nosso resultado!

Nossa missão é derivar arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) , vamos fazer isso separadamente!

Passo 3

Precisamos derivar essa coisa agora

arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) '

Temos que no argumento do arco tangente temos outra função (uma exponencial): então vamos usar a regra da cadeia novamente

No nosso caso f g = arctan ⁡ g e g x = e 7 x + 1 . Aí temos

arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) ' = 1 e 7 x + 1 2 + 1 . e 7 x + 1 '  

Tudo bem até aqui?

Viu que encontramos outra composição de funções? No argumento da exponencial tem um polinômio de grau um! Então para derivar aquela parte vamos aplicar a regra da cadeia novamente!

e 7 x + 1 ' = e 7 x + 1 . ( 7 )

Aí a derivada de arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) '   é

arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) ' = 1 e 7 x + 1 2 + 1 . e 7 x + 1 ' = 7 e 7 x + 1 e 7 x + 1 2 + 1

Show de bolinhas!

Passo 4

Nossa missão agora é retornar para nossa função original! Sabe aquele resultado que pedi para você guardar?

Então, vamos resgatar ele lá do passo 2 :

arctan 4 ⁡ ( e 7 x + 1 ) ' = 4 arctan 3 ⁡ e 7 x + 1 . arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) '

No passo 3 achamos a derivada de arctan ⁡ e 7 x + 1 :

arctan ⁡ ( e 7 x + 1 ) ' = 7 e 7 x + 1 e 7 x + 1 2 + 1  

Agora é só substituir o resultado na derivada da nossa função:

arctan 4 ⁡ ( e 7 x + 1 ) ' = 4 arctan 3 ⁡ e 7 x + 1 . 7 e 7 x + 1 e 7 x + 1 2 + 1 = 28 e 7 x + 1 arctan 3 ⁡ e 7 x + 1 e 7 x + 1 2 + 1

Ufa, acabamos! Ficou um resultado enorme né? Mas é isso mesmo! A derivada dessas funções mais complexas tende a ficar um resultado maior mesmo

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = 28 e 7 x + 1 arctan 3 ⁡ e 7 x + 1 e 7 x + 1 2 + 1

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