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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Calcule a derivada da seguinte função:

h x = tan ⁡ x . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x )  

Passo 1

Já que se trata de uma multiplicação de funções, primeiro usaremos a regra do produto:

h ' x = ( tan ⁡ x ) ' . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x . ( ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) ) '

A derivada de tan ⁡ x nós já conhecemos.

h ' x = ( sec ² ⁡ x ) . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x . ( ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) ) '

Passo 2

Agora temos que usar a regra da cadeia para derivar ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x .

h ' x = ( sec 2 ⁡ x ) . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x 1 sin ⁡ x + 1 + e x ( sin ⁡ x + 1 + e x ) '

h ' x = ( sec 2 ⁡ x ) . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x 1 sin ⁡ x + 1 + e x ( ( cos ⁡ x ) + ( 1 + e x ) ' )

Passo 3

Pra finalizar, vamos derivar 1 + e x usando mais uma vez a regra da cadeia

h ' x = ( sec 2 ⁡ x ) . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x sin ⁡ x + 1 + e x ( ( cos ⁡ x ) + 1 2 1 + e x 1 2 - 1 . ( 1 + e x ) ' )

h ' x = ( sec 2 ⁡ x ) . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x sin ⁡ x + 1 + e x ( ( cos ⁡ x ) + 1 + e x - 1 2 2 . ( 0 + e x )

h ' x = ( sec 2 ⁡ x ) . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x ( cos ⁡ x ) + e x 2 1 + e x sin ⁡ x + 1 + e x

Resposta

h ' x = ( sec 2 ⁡ x ) . ln ⁡ ( sin ⁡ x + 1 + e x ) + tan ⁡ x ( cos ⁡ x ) + e x 2 1 + e x sin ⁡ x + 1 + e x

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