UFSCAR. Séries e Equações Diferenciais. Lista 1. Prof. Thais Dalbelo. Questão 1e.
1 - Calcule a derivada das seguintes funções
e)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão temos uma função e o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função!
Antes de pensar no cálculo dessa derivada, temos que fazer algumas manipulações em pois da forma que está, não conseguimos aplicar nenhum método que conhecemos.
Pelas propriedades logarítmicas, temos que , se , então
Com essa nova função podemos ver alguns métodos que podemos usar para derivá-la? 🤔🤔
Nessa nova configuração, perceba que é uma função composta, então certamente temos que aplicar a regra da cadeia para começar.
Essa regra nos diz que a derivada de uma função composta é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora, ou seja.
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 2
Agora perceba que na derivada de temos o produto de duas outras funções, e . Nesse caso, vamos aplicar a regra do produto, que tal?
Esse método consiste em aplicar uma formulinha sendo a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função somada a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função. Ou seja
Substituindo em , temos
Substituindo por para simplificar a ideia, vamos obter
A derivada de é obtida simplesmente pelo método de derivação polinomial
Já as derivadas de e são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo, que usamos em derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.
Substituindo esses resultados em , temos
Por fim, não podemos deixar o resultado em função de , portanto temos que voltar ele para .
Lembra que , logo
E essa é a derivada de que foi dada no enunciado!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
