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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

2. Calcule a derivada das seguintes funções:

b. f x = ln ⁡ x   1 + cos 2 ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que calcular a derivada da seguinte função:

f x = ln ⁡ x   1 + cos 2 ⁡ x

Repara que temos um produto de duas funções: ln ⁡ x e 1 + cos 2 ⁡ x . Então, galerinha, vamos aplicar a regra do produto para resolver essa derivada

f x = g x h x → f ' x = g ' x h x + g x h ' x

Onde, temos que

g x = ln ⁡ x

h x = 1 + cos 2 ⁡ x

Agora bora derivar!

Passo 2

Começando por

g x = ln ⁡ x → g ' x = 1 x

Agora temos

h x = 1 + cos 2 ⁡ x

Derivando,

h ' x = 1 ' + cos 2 ⁡ x '

h ' x = cos 2 ⁡ x '

Aqui vamos precisar aplicar a regra da cadeia,

h ' x = cos ⁡ x ' cos ⁡ x 2 '

h ' x = - sin ⁡ x 2 cos ⁡ x

Passo 3

Juntando tudo, ficamos com

f ' x = g ' x h x + g x h ' x

f ' x = 1 x cos 2 ⁡ x + ln ⁡ x   ( - 2 sin ⁡ x cos ⁡ x )

f ' x = 1 x cos 2 ⁡ x - 2 ln ⁡ x   ( sin ⁡ x cos ⁡ x )

Prontinho!

Resposta

1 x cos 2 ⁡ x - 2 ln ⁡ x   ( sin ⁡ x cos ⁡ x

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