UFSCAR. Séries e Equações Diferenciais. Lista 1. Prof. Thais Dalbelo. Questão 1b.
1 - Calcule a derivada das seguintes funções
b)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão foi dada uma função e o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função.
Tem alguma ideia do que fazer para obter essa derivada? 🤔🤔
Nesse caso, temos que ter quatro métodos em mente, o primeiro é a regra do quociente pois vemos que é o quociente entre duas funções.
Essa técnica consiste em aplicar uma fórmula dada por
Em segundo temos que saber a regra do produto que também tem uma formulinha para nos ajudar
Tranquilo esses métodos? 😉
Passo 2
Além dessas técnicas, temos que ter em mente o método de derivação para funções compostas, pois se analisarmos , vamos observar que é uma função composta.
Então para derivá-la temos que aplicar a regra da cadeia que consiste em multiplicar a derivada de dentro pela derivada de fora...
E por fim, temos que ter em mente a regra do expoente da derivada que quando temos , em que é uma constante, sua derivada em relação a é dada por
Agora sim estamos pontos para começar! 😁
Primeiro aplicamos a regra do quociente sabendo que e
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é o próprio , ou seja
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então
Para obter a derivada de temos que aplicar a regra da cadeia como exemplificamos no início do passo 2 “a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora”.
Se a função de dentro é dada por a função de fora é dada por (substituindo a função interna por ).
Pelo método de derivação polinomial, temos
E pelo teorema fundamental do cálculo, temos
substituindo
Não podemos deixar o resultado em função de , então voltamos para
Tranquilo até aqui? 👀👀
Passo 3
Agora para a derivada de vamos aplicar a regra do produto pois temos o produto de duas funções e .
Na derivada de aplicamos a regra do expoente da derivada
E na derivada de apelamos para o teorema fundamental do cálculo que diz que essa derivada resulta em
Logo, substituindo na derivada de ....
Substituindo , e em , temos
Simplificando...
Assim, chegamos nessa fração imensa! Essa é a derivada de dada no enunciado!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
