Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

Enunciado

Bora lá. Temos que derivar uma função trigonométrica inversa. Ok, só pra lembrar, a derivada de tem um cálculo direto viu? Vamos ter:

Beleza, mas não é bem que que tá no interior do né? Na verdade, é bem como se tivéssemos:

Opa, se derivarmos de novo, vamos acabar usando a regra da cadeia! Até porque, seja e funções quaisqueres de :

Seguindo essa regra aí para , vamos ter:

Agora vamos ter que derivar:

Pra derivar isso, vamos pensar nessa função como sendo:

Usando a regra da cadeia de novo, vamos ter:

E não acabou ainda, porque ainda temos maaais uma derivada pra fazer:

Essa sai pela regra do quociente. Seja e funções de , a regra do quociente é:

E logo:

Fechada a questão em! Só juntar tudo agora. O que achamos foi:

Misturando tudo dá pra ver uma solução aparecer: