2. Calcule a derivada das seguintes funções:

  1. f(x) = e^(sen(raiz(x, 3)))

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que calcular a derivada da seguinte função:

f x = e sin ⁡ x 3

Repara que temos uma função x 3 (polinomial) dentro da função seno que está dentro da função exponencial. Quando isso, acontecer, nós temos que aplicar a regra da cadeia.

Para este caso que temos três funções diferentes, ela ficará assim:

f x = h g q x → f ' x = q ' x . g ' q x . h ' g q x

Em resumo, o que faremos é sempre a derivada do dentro vezes a derivada do de fora.

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

f x = e sin ⁡ x 3

Logo, podemos dizer que

h x = e x

g x = sin ⁡ x

q x = x 3

Agora vamos derivar cada parte!

Passo 3

Começando por,

q x = x 3 → q ' x = 1 3 x 2 3

Para,

g x = sin ⁡ x → g ' x = cos ⁡ x

Mas lembra que dentro do seno temos a função q x . Então fica assim:

g q x = sin ⁡ q x → g ' q x = cos ⁡ q x

Ou seja,

g ' q x = cos ⁡ x 3

Por fim, temos que

h x = e x → h ' x = e x

E dentro da função h temos uma g q x . Logo,

h ' g q x = e sin ⁡ x 3

Passo 4

Juntando tudo, ficamos com

f ' x = q ' x . g ' q x . h ' g q x

f ' x = 1 3 x 2 3 cos ⁡ x 3 e sin ⁡ x 3

Prontinho!

Resposta

1 3 x 2 3 cos ⁡ x 3 e sin ⁡ x 3

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