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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 23h

Calcule as derivadas

f ( x ) = c o s ( ( 1 + e 2 x ) - 1 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada de

f ( x ) = c o s ( ( 1 + e 2 x ) - 1 )

Usando as regras de derivação. Vamos revisar essa regras

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de

( 1 + e 2 x ) - 1

Note que a função é da forma

f ( x ) = g ( h ( x ) )

onde

h ( x ) = 1 + e 2 x

g ( x ) = x - 1

Logo, pela regra da cadeia temos que sua derivada é:

g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

= - 2 ( 1 + e 2 x ) - 2 * e 2 x

Agora vamos calcular a derivada de interesse

f ( x ) = c o s ( ( 1 + e 2 x ) - 1 )

Note que a função é da forma

f ( x ) = g ( h ( x ) )

onde

h ( x ) = ( 1 + e 2 x ) - 1

g ( x ) = c o s ( x )

Logo, pela regra da cadeia temos que

f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

= - s i n ( ( 1 + e 2 x ) - 1 ) * - 2 ( 1 + e 2 x ) - 2 * e 2 x

= 2 s i n ( ( 1 + e 2 x ) - 1 ) * ( 1 + e 2 x ) - 2 * e 2 x

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= e x s i n ( x ) * ( s i n ( x ) - x c o s ( x ) )

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