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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 13a.

13. Calcule as derivadas das seguintes funções

a) f x = a r c t g s e n x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, nosso objetivo é calcular a derivada da função f x = a r c t g s e n x .

E aí, parece tranquilo?

Perceba que f x é uma função composta pois a a r c t g depende de outra função e não de uma variável.

Para esses casos, podemos aplicar a regra da cadeia que diz

f x = g h x → f ' x = h ' x g ' h x

Ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora...

Bora começar! 😁

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia no nosso caso, temos

f ' x = d s e n x d x · d a r c t g s e n x d s e n x

Substituindo s e n x por uma variável na segunda derivada

f ' x = d s e n x d x · d a r c t g u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de s e n x e a r c t g u são

d s e n x d x = cos ⁡ x

d a r c t g u d u = 1 u 2 + 1

Substituindo em f ' x ...

f ' x = cos ⁡ x · 1 u 2 + 1

Voltando u para o domínio de x , substituímos u por s e n x de volta

f ' x = cos ⁡ x · 1 s e n 2 x + 1

f ' x = cos ⁡ x s e n 2 x + 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = cos ⁡ x s e n 2 x + 1

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