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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 13b.

13. Calcule as derivadas das seguintes funções

b) g x = s e c a r c s e n x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é calcular a derivada da função g x = s e c a r c s e n x .

E aí, parece tranquilo?

Perceba que g x é uma função composta pois a s e c depende de outra função e não de uma variável.

Para esses casos, podemos aplicar a regra da cadeia que diz

g x = f h x → g ' x = h ' x f ' h x

Ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora...

Bora começar! 😁

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia no nosso caso, temos

g ' x = d a r c s e n x d x · d s e c a r c s e n x d a r c s e n x

Substituindo a r c s e n x por uma variável na segunda derivada

g ' x = d a r c s e n x d x · d s e c u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de a r c s e n x e s e c u são

d a r c s e n x d x = 1 1 - x 2

d s e c u d u = sec ⁡ u t g u

Substituindo em g ' x ...

g ' x = 1 1 - x 2 · sec ⁡ u t g u

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Voltando u para o domínio de x , substituímos u por a r c s e n x de volta

g ' x = 1 1 - x 2 · sec ⁡ a r c s e n x t g a r c s e n x

g ' x = sec ⁡ a r c s e n x t g a r c s e n x 1 - x 2

Aqui podemos aplicar algumas propriedades trigonométricas que diz que

sec ⁡ a r c s e n x = 1 - x 2 1 - x 2

t g a r c s e n x = x 1 - x 2 1 - x 2

Substituindo em g ' x ...

g ' x = 1 - x 2 1 - x 2 x 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2

g ' x = x 1 - x 2 1 - x 2 2 1 - x 2

Simplificando...

g ' x = x 1 - x 2 1 - x 2

g ' x = x 1 - x 2 1 - x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

g ' x = x 1 - x 2 1 - x 2

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