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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Derivadas de Ordem Superior

Calcule G ' ' para a função a seguir.

G r = 2 r ² - 2 r - 1 5

Passo 1

Nossa função é

G r = 2 r ² - 2 r - 1 5 = 2 r 2 - 2 r - 1 1 5

Derivando, usando a regra da cadeia, temos:

G ' r = 1 5 2 r 2 - 2 r - 1 - 4 5 ∙ 2 r 2 - 2 r - 1 '

Passo 2

Agora para derivar a função de dentro, usamos a regra do quociente.

Mas, antes de prosseguir, agora é o momento de ser esperto.

Repara que podemos simplificar essa fração aí antes de derivar:

G ' r = 1 5 2 r 2 - 2 r - 1 - 4 5 ∙ 2 r 2 - 1 r - 1 '

G ' r = 1 5 2 r 2 - 2 r - 1 - 4 5 ∙ 2 r - 1 ( r + 1 ) r - 1 '

G ' r = 1 5 2 r 2 - 2 r - 1 - 4 5 ∙ 2 ( r + 1 ) '

E agora não precisamos mais usar regra do quociente! Uhules

G ' r = 1 5 2 r 2 - 2 r - 1 - 4 5 ∙ 2 '

G ' r = 2 5 2 r 2 - 2 r - 1 - 4 5

Passo 3

Agora vamos derivar novamente, usando de novo a regra da cadeia e a regra do quociente pra derivar a função de dentro.

Primeiro usando a regra da cadeia:

G ' ' r = 2 5 - 4 5 2 r 2 - 2 r - 1 - 9 5 ∙ 2 r 2 - 2 r - 1 '

G ' ' r = - 8 25 2 r 2 - 2 r - 1 - 9 5 ∙ 2 r 2 - 2 r - 1 '

Passo 4

Agora é o momento que deveríamos usar a regra do quociente. Mas já vimos que dá pra simplificar essa fração.

Então, ficamos com

G ' ' r = - 8 25 2 r 2 - 2 r - 1 - 9 5 ∙ 2 ( r + 1 ) '

G ' ' r = - 8 25 2 r 2 - 2 r - 1 - 9 5 ∙ 2

G ' ' r = - 16 25 2 r 2 - 2 r - 1 - 9 5

G ' ' r = - 16 25 2 r + 1 - 9 5

Resposta

G ' ' r = - 16 25 2 r + 2 - 9 / 5

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