UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 5 - Integrais, Questão 3
Calcule onde com .
Passo 1
Olá pessoal, quem tá animado pra matar mais uma questão?
Aqui recebemos algumas informações. Sabemos que:
E, que:
O objetivo é que a gente calcule .
Então, vamos pensar nesse problema por partes. Primeiro, vamos pensar em como calcular .
Para isso deveremos usar a regra da cadeia. Segundo ela:
Para calcular precisaremos usar o TFC.
Segundo ele, se é uma função contínua em e
onde , então também é contínua em e:
Show de bola! Então vamos lá!
Mãos à obra haha
Passo 2
Bom, vamos começar calculando a derivada de .
Temos:
Usando a regra da cadeia, como a derivada da função exponencial é a própria exponencial, vamos ter:
Como queremos calcular , teremos:
Perfeito! Então precisamos calcular e .
Vamos começar por .
Pela relação dada, temos que:
Puts, mas se os limites de integração são iguais, a integral é nula. Logo:
Indo agora para , precisaremos usar o TFC. Como comentamos no passo anterior:
onde é a função que está dentro da integral que define . Ou seja:
Logo:
Portanto:
Assim:
Perfeito!
Passo 3
Bom, pra finalizar vamos retomar à nossa expressão pra :
Como e , temos:
Prontinho!! Terminamos!
Valeuuuu 😊