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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

1c) Calcule

d d x tan ⁡ x 4 3 ln ⁡ x

Passo 1

Galera, saca só. Essa função doidona ai nada mais é do que uma função dentro da outra. Se a gente definir:

g x = tan ⁡ x

h x = x 4 3 ln ⁡ x

f x = tan ⁡ x 4 3 ln ⁡ x

Então vamos ter que:

f x = g h x

E pra derivar carinhas nesse formato, não tem jeito! É regra da cadeia neles! Vamos ter:

f ' x = g ' h x ∙ h ' x

Como:

g ' x = sec 2 ⁡ x

h ' x = x 4 3 ln ⁡ x '

Nossa derivada fica:

f ' x = sec 2 ⁡ x 4 3 ln ⁡ x ∙ x 4 3 ln ⁡ x '

Passo 2

Bom, não acabamos ainda! Temos outra derivada pra calcular:

x 4 3 ln ⁡ x '

Essa ai a gente tira de letra se entendermos que ela é um produto de duas outras funções! Seja:

m x = n x ∙ o x

Onde:

m x = x 4 3 ln ⁡ x

n x = x 4 3

o x = ln ⁡ x

Para achar m ' x = x 4 3 ln ⁡ x '

Não tem jeito também! Regra do produto neles! Vamos ter:

m ' x = n ' x ∙ o x + n x ∙ o ' x

Seja:

n ' x = 4 3 x 1 3

o ' x = 1 x

Nosso resultado final pra essa derivada será:

x 4 3 ln ⁡ x ' = 4 3 x 1 3 ln ⁡ x + x 4 3 x

x 4 3 ln ⁡ x ' = 4 3 x 1 3 ln ⁡ x + x 1 3

x 4 3 ln ⁡ x ' = x 1 3 4 ln ⁡ x + 3 3

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro, basta juntar tudo:

f ' x = sec 2 ⁡ x 4 3 ln ⁡ x ∙ x 4 3 ln ⁡ x '

x 4 3 ln ⁡ x ' = x 1 3 4 ln ⁡ x + 3 3

Como definimos:

f ' x = d d x tan ⁡ x 4 3 ln ⁡ x

Nossa resposta final será:

d d x tan ⁡ x 4 3 ln ⁡ x = x 1 3 sec 2 ⁡ x 4 3 ln ⁡ x 4 ln ⁡ x + 3 3

Resposta

d d x tan ⁡ x 4 3 ln ⁡ x = x 1 3 sec 2 ⁡ x 4 3 ln ⁡ x 4 ln ⁡ x + 3 3

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