UFSCAR, São Carlos, Cálculo 2, P3 - 2018.2, Questão 1
O comprimento , a largura e a altura de uma caixa variam com o tempo . Em um determinado instante as dimensões são , e . Sabe-se que e estão aumentando a uma taxa de , enquanto está decrescendo a uma taxa de . Encontre a taxa de variação do volume da caixa no instante .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma caixa de dimensões:
Ele fala que as dimensões estão variando, então nós estamos falando das derivadas do comprimento, da largura e da altura:
Nós queremos determinar a taxa de variação do volume, sabendo que o volume da caixa pode ser dado por . Dessa forma, usando a Regra da Cadeia, temos a variação do volume:
Então, o que nós vamos fazer é calcular essas derivadas e substituir na expressão.
Vamos lá!
Passo 2
Nós já temos e , só falta a gente calcular as derivadas parciais em relação a cada variável.
Calculando a derivada parcial de em relação a , consideramos e constantes e temos:
Da mesma forma, vamos calcular a derivada parcial de em relação a e em relação a :
Substituindo tudo na expressão para , temos a variação do volume da caixa:
Mas nós sabemos que e , então:
Portanto,
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉