Considere g(x) = cos(x) * f²(x) onde f: R → R é duas vezes diferenciável, f(0) = -1 e f'(0) = f''(0) = 2 . Calcule g''(0)

Passo 1

Parece uma questão beeeeem chata né?

Mas, força na peruca e vamo que vamos!

Começando calculando a derivada primeira de g .

Teremos que usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Regra do produto:

g ' x = - sen ⁡ x ∙ f 2 x + cos ⁡ x ∙ f 2 x '

Regra da cadeia:

g ' x = - sen ⁡ x ∙ f 2 x + cos ⁡ x ∙ 2 f x ∙ f ' x

Passo 2

Agora, vamos derivar isso de novo.

Novamente, vamos usar regra do produto e regra da cadeia.

g ' ' x = - cos ⁡ x ∙ f 2 x - sen ⁡ x ∙ 2 f x ∙ f ' x - sen ⁡ x ∙ 2 f x ∙ f ' x + cos ⁡ x 2 f ' x f ' x + 2 f x f ' ' x

g ' ' x = - cos ⁡ x ∙ f 2 x - 4 sen ⁡ x ∙ f x ∙ f ' x + cos ⁡ x 2 f ' x f ' x + 2 f x f ' ' x

Passo 3

Pronto, agora é só substituir x = 0 .

g ' ' 0 = - cos ⁡ 0 ∙ f 2 0 - 4 sen ⁡ 0 ∙ f 0 ∙ f ' 0 + cos ⁡ 0 2 f ' 0 f ' 0 + 2 f 0 f ' ' 0

g ' ' 0 = - f 2 0 + 2 f ' 0 f ' 0 + 2 f 0 f ' ' 0

Do enunciado, sabemos que f 0 = - 1 e f ' 0 = f ' ' 0 = 2 .

Substituindo esses valores:

g ' ' 0 = - - 1 2 + 2 . 2.2 + 2 - 1 . 2

g ' ' 0 = - 1 + 8 - 4

g ' ' 0 = 3

Resposta

g ' ' 0 = 3

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