UFPE – Sem campus – Cálculo 1 – Provas Antigas –1 EE– 2021.2 – 3
Considere a curva dada pela equação implícita
a- Calcule em termos de e .
b- Usando o resultado do item anterior, determine a equação da reta tangente à curva no ponto (3,1).
Passo 1
Faaala galerinha, suave?
Seguinte, vamos explorar um pouco de derivação implícita e regra da cadeia nessa questão. Mas antes de tudo, vamos relembrar o que é uma função implícita e sua derivada. Você manja da definição? Se liga: Dado podemos observar:
i- Equação simples explícita, onde temos a função dependendo apenas da variável
ii- Equação implícita, onde os valores e se misturam de forma que podemos manipular a igualdade como uma função de duas variáveis equivalente a zero:
Podemos ver isso na nossa questão:
Passo 2
Mas, no fim das contas, podemos derivar tudo em função da variável e manter a igualdade inicial, lembrando de aplicar a regra da cadeia quando necessário:
Derivando a expressão da esquerda, vamos aplicar regra da cadeia em e no próprio , já que ele é uma função a parte que depende de .
Ao derivarmos a expressão da direita, temos algo semelhante, tirando a necessidade da primeira aplicação de regra da cadeia no problema anterior.
Logo, nosso resultado é:
Isolando os termos com no lado esquerdo:
Isolando o em si e obtendo o nosso resultado:
Passo 3
Tendo nossa função derivada, podemos aplicar ela no ponto e obter seu grau de inclinação. Sabendo do grau de inclinação e ponto específico que a reta corta, podemos usar nossa base em geometria analítica para formar a reta.
Logo, nossa reta é:
Visto que nossa tangente nada mais é que a razão entre variação de por .
Passo 4
a-
b-
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)