20. Considere g diferenciável e f(x) = x · g(x^2) .

a) Mostre que f'(x) = g(x^2) + 2 * x^2 * g'(x^2) ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma função g diferenciável e uma função f x = x · g x 2 e nosso objetivo é mostrar que f ' x = g x 2 + 2 x 2 · g ' x 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para calcular essa derivada, temos que analisar a função f para imaginar qual é o melhor método de derivação.

Se f x = x · g x 2 então podemos começar aplicando a regra do produto já que f é dado pelo produto de x e g x 2 .

Para aplicar a regra do produto, temos

p x = q x · r x → p ' x = q ' x · r x + q x · r ' x

Porém, na derivada do termo g x 2 temos que aplicar a regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora...

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Começando pela regra do produto em f , temos

f x = x · g x 2 → f ' x = d x d x · g x 2 + x · d g x 2 d x

Aplicando a regra da cadeia em g x 2

f ' x = d x d x · g x 2 + x · d x 2 d x · d g u d u

Pelo método de derivação polinomial...

f ' x = 1 · g x 2 + x · 2 x · g ' u

Simplificando e voltando u = x 2

f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2

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