Considere a função f e suas derivadas definidas abaixo

f(x) = -2 * x^2 / (x^2 - 1)

f'(x) = (4x) / ((x^2 - 1)^2)

f''(x) = (-4 - 12 * x^2) / ((x^2 - 1)^3)

Sobre o crescimento e decrescimento da função f podemos afirmar que:

  1. f é crescente nos intervalos (-∞, -1) e (-1,0] e é decrescente nos intervalos [0,1) e (1,∞)
  2. f é crescente nos intervalos (-∞, -1) e [0, 1) e é decrescente nos intervalos (-1,0) e (1,∞)
  3. f é decrescente nos intervalos (-∞, -1) e [-1,0) e é crescente nos intervalos [0,1) e (1,∞)
  4. f é decrescente nos intervalos (-∞, -1) e [0, 1) e é crescente nos intervalos (-1,0) e (1,∞)
  5. f é decrescente nos intervalos (-∞, 0] e (1, ∞) e é crescente nos intervalos [0, 1)

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é descobrir qual em quais intervalos a nossa função f é crescente ou decrescente. Onde sabemos que

f ( x ) = - 2 x 2 x 2 - 1

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

O que podemos usar para verificar o crescimento de uma função? A sua derivada!!!! O sinal da derivada indica se a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de f é:

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

Vamos analisar f ' . Podemos observar que o denominador é sempre positivo logo, o sinal só irá depender do numerador. Ou seja, para valores de x > 0 a nossa derivada é positiva e para valores abaixo é negativa.

Logo, f é crescente em todos os valores de x maiores que 0 e diferentes de 1 (pois f não é definida nesse ponto)

e f será decrescente para todos os valores de x menores que 0 e diferentes de - 1 (pois f não é definida nesse ponto)

E essa condição está presente na alternativa c ) que diz f é decrescente nos intervalos ( - ∞ , - 1 )   e   [ - 1,0 ) e é crescente nos intervalos [ 0,1 )   e   ( 1 , ∞ )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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