UFSC – 2018.1 – P1
Considere a função
Então é igual a?
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Não é necessário justificativa.
Passo 1
Pessoal, vocês repararam que é uma expressão grandona né?
Vamos fazer o seguinte, vamos dividir em duas partes:
Temos que derivar essas duas partes e substituir o , para encontrar o valor de:
Passo 2
Começando a derivar a primeira parte:
Como temos uma expressão de elevada a outro número, vamos usar a regra da cadeia:
No nosso caso, temos:
A expressão interna fica:
Logo,
Agora vamos substituir o valor de nessa primeira parte:
Passo 3
Agora vamos para segunda parte. Como essa expressão é uma fração, nós vamos aplicar a Regra do Quociente.
Mas primeiro, vamos mudar a forma de enxergar essa raiz. Vamos escrever a raiz como uma potência daquela expressão com um expoente em forma de fração. Por exemplo:
Então, no nosso caso, temos:
Agora sim vamos aplicar a Regra do Quociente:
Então:
Vamos derivar cada pedacinho por vez, começando por:
Enquanto que em , temos que aplicar a Regra do Produto:
Daí fica:
Calculando a derivada de:
Enquanto usando a Regra da Cadeia, como fizemos lá no início:
Vamos voltar para fazer as substituições? Vamos com calma:
Onde eu aplico isso? Bem aqui:
Ufa, esse segundo termo não foi curto não! Mas achamos.
Passo 4
Agora vamos substituir o valor de , então:
Não vamos esquecer que:
E
Então:
Encontramos o valor para essa segunda, vamos juntar tudo?
Passo 5
Inicialmente, separamos a função em duas partes:
Para que a derivação fosse mais fácil:
E aproveitamos para substituir o valor de :
No passo 2, achamos que:
E no passo 4, que:
Logo, nosso valor final é:
Resposta
Letra “g”