Considere as funções

g x = 1 ,     x < - 1 | x | ,     x ≥ - 1 e f x = 1 ,     x < 0 1 - x 2 ,     x ≥ 0

(d) Usando a regra da cadeia, encontre ( f ∘ g ) ' ( x ) , ∀ x   ∈ C ;

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?

O que precisamos fazer nessa questãozinha é determinar a derivada da composta utilizando a regra da cadeia, sendo o intervalo da função C .

Como temos o modulo na g ( x ) , devemos analisar a função

g x = 1 ,     x < - 1 | x | ,   - 1 < x < 0 | x | ,     x > 0

Vamos também derivar f ( x )

f ' x = 0 ,     x < 0 - 2 x ,     x ≥ 0

Passo 2

A derivada da f composta com a g é

f ' g x = f ' 1                                                                                                         ,     x < - 1 f ' x = - 2 x = - 2 - x = 2 x ,   - 1 < x < 0 f ' x = - 2 x = - 2 ( x ) = - 2 x ,     x > 0

Passo 3

Por fim, aplicando a regra da cadeia, que é derivar a função de fora e multiplicar pela função de dentro, teremos

f ∘ g ' x = f ' g x g ' ( x ) = - 2 0                                           ,     x < - 1 2 x ( - 1 )         ,                           - 1 < x < 0 - 2 x ( 1 ) ,                                                                   x > 0

O resultado é

f ∘ g ' x = f ' g x g ' ( x ) = 0                                           ,     x < - 1 - 2 x       ,                           - 1 < x < 0 - 2 x ,                                                                   x > 0

Prontinho! Até mais!

Resposta

f ∘ g ' x = f ' g x g ' ( x ) = 0                                           ,     x < - 1 - 2 x       ,                           - 1 < x < 0 - 2 x ,                                                                   x > 0

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