UFCG. Cálculo 1. Listas UAMat. Lista 2 Derivadas. Questão 17g.
17 – Derive.
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Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
A ideia dessa questão é bem simples! O que temos que fazer é calcular a derivada de , dada por
Mas analisando a função que nos deram, vamos ver algo um pouco diferente pois temos uma fração de duas funções em que no numerador temos o produto entre outras duas funções e no denominador uma função composta...
Dessa forma, temos que pedir ajuda para algumas técnicas de derivação pra podermos calcular a derivada de .
Tem alguma ideia em mente? 🤔🤔
Pra isso, vamos observar algumas características da função.
Consegue ver quais características podemos usar a nosso favor? 👀
Bora ver!
Passo 2
Primeiro vimos que ela é uma fração de funções, então podemos aplicar a regra do quociente.
Esse método consiste em aplicar uma formulinha dada por
Outra característica é que se , , ou seja, o produto de duas funções e .
Portanto, para obter a derivada , vamos aplicar a regra do produto. Essa regra também possui uma formulinha dada por
E por fim, no denominador , a função é dada por uma função composta, ou seja, para a derivada , usamos a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).
Sacou? Vamos aplicar essas técnicas para nossa função!
Se , e , aplicando a regra do quociente, temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Aplicando a segunda característica na derivada de , temos que pela regra do produto...
Substituindo em ...
Ainda não podemos calcular pois na derivada de temos que aplicar a regra da cadeia como vimos na terceira característica!
Ou seja.
Substituindo por uma variável qualquer em , temos
Substituindo em
Ficou enorme, não é? 👀
Mas relaxa, vamos com calma... passo a passo.
Passo 4
Primeiro, nas derivadas de e , vamos usar o método de derivação polinomial (multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo do seu expoente).
Já nas derivadas de e de , vamos recorrer ao teorema fundamental do cálculo. Usamos esse teorema quando temos que derivar função não triviais, como as funções trigonométricas...
Substituindo essas derivadas em , temos
Substituindo por de volta e simplificando a equação
E finalmente chegamos ao resultado da derivada de !
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
