UFCG. Cálculo 1. Listas UAMat. Lista 2 Derivadas. Questão 17f.
17 – Derive.
f)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos que obter a derivada de uma função dada por
Porém, analisando essa função, vemos que ela é um pouco diferente, não é?
Primeiro é dado pelo produto entre e . E também é uma função composta entre e que por sua vez também é uma função composta por e .
Confuso, não é?
Mas tem alguma ideia de como calcular essa derivada? 👀
Nesse caso há dois métodos especiais que temos que aplicar! Primeiro é a regra do produto que consiste em calcular a derivada de uma função composta pelo produto de duas funções como
E o segundo é a regra da cadeia que consiste em nos auxiliar em derivadas de funções compostas, nesse caso a derivada de uma função assim é dado pela derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, ou seja
Sacou? Vamos ver como aplicamos no nosso caso? 😎
Passo 2
Vamos indo por partes!
Primeiro vemos como é a nossa função que queremos derivar
Vimos no passo anterior que ela é composta pelo produto de duas funções, ou seja, onde
Então será dada pela regra do produto como
Mas se formos calcular a derivada de como está aqui, vamos nos deparar com a derivada de , que não é nada trivial de se calcular, não é?
Então nesse caso, vamos usar a regra da cadeia para facilitar nossa vida.
Como vimos no passo anterior, uma função composta é dada por
Comparando com , vemos que e
Então a derivada de será dada por
Considerando como , podemos organizar melhor nossa derivada como
Substituindo em ...
Agora podemos calcular a derivada? 🤔
Novamente se tentássemos calcular essa derivada, íamos travar na derivada de .
Essa também é uma função composta, não é? Então aplicando as mesmas ideias que acabamos de aplicar para , chamando de na derivada de fora, vamos chegar em
Substituindo em novamente, temos
Entendeu essa parte? 😁
Passo 3
Agora podemos calcular cada derivada separadamente e substituir em
As derivadas de e são obtidas pelo método da derivação polinomial (multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo do seu expoente).
Já as derivadas de e são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo.
Recorremos para esse teorema quando nossa função de derivação é uma função que não podemos aplicar um método conhecido, como por exemplo em funções trigonométricas e logarítmicas.
Portanto, essas derivadas são obtidas como
Substituindo essas derivadas em
Não podemos deixar o resultado em função de e então vamos substituir por de volta e por ...
Organizando um pouquinho, temos
E essa é a derivada que tínhamos que calcular!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
