2) Derive a função dada.

b) g(x) = sec^6(x) - x^(-6) * cot(x^6)

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos derivar a função dada.

Pra isso vamos usar as regras de derivação como a regra da cadeia:

f ' x = g h x ' = h ' x g ' h x

A regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

A derivada da secante:

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tan ⁡ x

A derivada da cotangente:

cot ⁡ x ' = csc 2 ⁡ x

Passo 2

Como é uma soma de termos, podemos derivar um de cada vez e depois somar.

- Pra sec 6 ⁡ x , usando a regra da cadeia:

sec 6 ⁡ x ' = sec ⁡ x tan ⁡ x 6 sec 5 ⁡ x

= 6 sec 6 x ⁡ tan ⁡ x

- Pra - x - 6 cot ⁡ x 6 vamos usar a regra do produto:

- x - 6 cot ⁡ x 6 ' = - x - 6 ' cot ⁡ x 6 + cot ⁡ x 6 ' - x - 6

Pra - x - 6 :

- x - 6 = - 6 - x - 7

= 6 x - 7

Pra cot ⁡ x 6 , usando a regra da cadeia:

cot ⁡ x 6 = 6 x 5 csc 2 ⁡ x 6

= 6 x 5 csc 2 ⁡ ( x 6 )

Passo 3

Então:

- x - 6 cot ⁡ x 6 ' = ( 6 x - 7 ) cot ⁡ x 6 + 6 x 5 csc 2 ⁡ ( x 6 ) - x - 6

= 6 cot ⁡ x 6 x 7 + 6 csc 2 ⁡ x 6 x

Somando tudo:

g ' x = 6 sec 6 x ⁡ tan ⁡ x + 6 cot ⁡ x 6 x 7 + 6 csc 2 ⁡ x 6 x

Resposta

g ' x = 6 sec 6 x ⁡ tan ⁡ x + 6 cot ⁡ x 6 x 7 + 6 csc 2 ⁡ x 6 x

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