Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

f x = 2 x 4 + 2 x 4 cos 2 ⁡ x

Passo 1

Vamos lá, para derivar essa função vamos precisar usar a regra do quociente. Relembrando:

f x g x ' = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

Então

f ' x = 2 x 4 + 2 x 4 ' ∙ cos 2 ⁡ x - 2 x 4 + 2 x 4 cos 2 ⁡ x ' cos 2 ⁡ x 2

Passo 2

Agora vamos derivar isso tudo aos poucos.

Começando por 2 x 4 + 2 x 4 ' .

2 x 4 + 2 x 4 ' = 2 x 4 + 2 x 1 4 '

Usando a regra da cadeia:

2 x 4 + 2 x 4 ' = 1 4 2 x 4 + 2 x - 3 / 4 ∙ 2.4 x 3 + 2

2 x 4 + 2 x 4 ' = 8 x 3 + 2 4 2 x 4 + 2 x 3 4

Passo 3

Agora vamos para cos 2 ⁡ x ' .

Usando a regra da cadeia:

cos 2 ⁡ x ' = 2 cos ⁡ x ∙ ( - sen ⁡ x )

cos 2 ⁡ x ' = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Passo 4

Vamos juntar tudo:

f ' x = 8 x 3 + 2 4 2 x 4 + 2 x 3 4 ⋅ cos 2 ⁡ x - 2 x 4 + 2 x 4 ⋅ - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x cos 4 ⁡ x

Reorganizando e simplificando:

f ' x = cos ⁡ ( x ) ( 8 x 3 cos ⁡ x + 2 ⋅ cos ⁡ x + 8 2 x 4 + 2 x ⋅ s e n   ( x ) ) 4 2 x 4 + 2 x 3 4 ⋅ cos 4 ⁡ x

Dividindo tudo por 2 e cortando o cosseno do numerador com o denominador:

f ' x = 4 x 3 cos ⁡ x + cos ⁡ ( x ) + 4 2 x 4 + 2 x ⋅ s e n   ( x ) 2 2 x 4 + 2 x 3 4 ⋅ cos 3 ⁡ x

Colocando o cosseno em evidência no numerador,

f ' x = cos ⁡ x 4 x 3 + 1 + 4 2 x 4 + 2 x ⋅ s e n   ( x ) 2 2 x 4 + 2 x 3 4 ⋅ cos 3 ⁡ x

Resposta

f ' x = cos ⁡ x 4 x 3 + 1 + 4 2 x 4 + 2 x ⋅ s e n   ( x ) 2 2 x 4 + 2 x 3 4 ⋅ cos 3 ⁡ x

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