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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Derive a seguinte função:

g x = tg ⁡ x ⋅ sec ⁡ x

Passo 1

Como temos uma função composta, é interessante usar a regra da cadeia para derivar g x . Lembrando que primeiro derivamos a tangente e então multiplicamos pala derivada do que está dentro de dela.

Para tal, então, consideramos u = x ⋅ sec ⁡ x . Assim, teremos:

g ' x = d tg ⁡ u d u ⋅ d u d x

Passo 2

d tg ⁡ u d u = sec 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x

Agora, pela regra do produto:

d u d x = x ⋅ sec ⁡ x ' = x ' sec ⁡ x + x sec ⁡ x ' =

1 2 x sec ⁡ x + x sec ⁡ x tg ⁡ x = sec ⁡ x 1 2 x + x tg ⁡ x

Passo 3

Agora, substituindo a criança: g ' x = sec 2 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x sec ⁡ x 1 2 x + x tg ⁡ x

Pronto!

Resposta

g ' x = sec 2 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x sec ⁡ x 1 2 x + x tg ⁡ x

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