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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.1.5d

Derive as seguintes funções:

d)

f x = log ⁡ log ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos a derivada da função f x = log ⁡ log ⁡ x .

Para isso, podemos determinar a derivada aplicando a regra da cadeia.

Mas que regra é essa??

Bom... seja uma função f x , então a regra da cadeia é dada por:

d f u d x = d f d u * d u d x

Onde u é uma substituição que faremos 😉

Mas antes, podemos simplificar um pouco nossa função utilizando propriedades de logaritmos!!

E aí? Bora lá?!!

😉

Passo 2

Dessa forma, sabemos que:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Portanto, aplicando na nossa função, temos:

log ⁡ log ⁡ x ' = ln ⁡ log ⁡ x ln ⁡ 10 '

Retirando a constante para fora da derivada, temos:

1 ln ⁡ 10 * ln ⁡ log ⁡ x '

Agora sim podemos aplicar a Regra da Cadeia!!!

Passo 3

Dessa forma, aplicando a regra da cadeia, fazemos:

u = log ⁡ x

Assim, temos:

f ' x = 1 ln ⁡ 10 d ln ⁡ u d u * d log ⁡ x d x ∴

f ' x = 1 ln ⁡ 10 1 u * d log ⁡ x d x ∴

f ' x = 1 ln ⁡ 10 1 u * 1 x ln ⁡ 10 ∴

f ' x = 1 ln ⁡ 10 1 log ⁡ x * 1 x ln ⁡ 10 ∴

f ' x = 1 ln 2 ⁡ 10 x log ⁡ 10

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = 1 ln 2 ⁡ 10 x log ⁡ 10

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