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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 3.6c

Derive:

c) h x = x sin ⁡ e x / cos ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada de h x = x sin ⁡ e x cos ⁡ x .

Para isso, temos que aplicar a regra da divisão, onde a derivada de uma função u v é dada por:

u v ' = u ' v - v ' u v 2

Ainda... Para podermos derivar essa função, temos que aplicar a regra da cadeia no termo sin ⁡ e x .

Mas que regra é essa??

A regra da cadeia estabelece que a derivada de g ( w ( x ) ) é g ' ( w ( x ) ) ⋅ w ' ( x ) .

Em outras palavras, ela nos ajuda a calcular a derivada de funções compostas.

Agora vamos aplicar na nossa função!!

😉

Passo 2

Bom... fazendo w = e x , temos que:

w ' = e x

Agora podemos derivar nossa função!!

Temos que g x = sin ⁡ ( e x ) ou:

g w x = sin ⁡ w

Pela regra da cadeia, sabemos que:

g ' w x = g ' w x ⋅ g ' x ∴

g ' w x = cos ⁡ ( w ) * e x

Substituindo w , temos:

g ' x = cos ⁡ e x * e x

Agora, podemos aplicar esse valor no numerador para encontrar a sua derivada (pois precisaremos dela para aplicar a regra da divisão).

Passo 3

Primeiramente, aplicando a regra da multiplicação no numerador x sin ⁡ e x , temos:

x sin ⁡ e x ' = x ' sin ⁡ e x + x sin ⁡ e x ' ∴

x sin ⁡ e x ' = sin ⁡ e x + cos ⁡ e x x e x

Agora vamos aplicar a regra do quociente na nossa função!!

Passo 4

Assim, aplicando a regra do quociente em h x , temos:

h ' x = x sin ⁡ e x ' * cos ⁡ x - cos ⁡ x ' * x sin ⁡ e x cos ⁡ x 2 ∴

h ' x = sin ⁡ e x + cos ⁡ e x x e x * cos ⁡ x - - sin ⁡ ( x ) * x sin ⁡ e x cos 2 ⁡ ( x ) ∴

h ' x = sin ⁡ e x + cos ⁡ e x x e x * cos ⁡ x + sin ⁡ ( x ) * x sin ⁡ e x cos 2 ⁡ ( x ) ∴

h ' x = sin ⁡ e x cos ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ e x x e x + sin ⁡ ( x ) x sin ⁡ e x cos 2 ⁡ ( x ) ∴

h ' x = sin ⁡ e x + cos ⁡ e x x e x cos ⁡ x + sin ⁡ ( x ) x sin ⁡ e x cos 2 ⁡ ( x )

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

h ' x = sin ⁡ e x + cos ⁡ e x x e x cos ⁡ x + sin ⁡ ( x ) x sin ⁡ e x cos 2 ⁡ ( x )

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