Determine a derivada da função f(x) = 5x . ln(cos(x))

(a) f'(x) = -5x * (sen(x) / cos(x))

(b) f'(x) = 5 - 5x - (sen(x) / cos(x))

(c) f'(x) = 5x * sen(x) / cos(x)

(d) f'(x) = 5 * ln(cos(x)) - 5x * (sen(x) / cos(x))

(e) f'(x) = 5 * ln(cos(x))

Passo 1

Vamos fazer o seguinte:

u ( x ) = 5 x

v ( x ) = ln ⁡ cos ⁡ x

E a nossa função é:

f x = u x v ( x )

E agora, pela regra do produto, temos o seguinte:

f ' x = u x v ' x + u ' x v ( x )

Então precisamos calcular as duas derivadas: de u ( x ) e v ( x ) .

Passo 2

Começando pela derivada de u ( x ) :

d d x u x = d d x 5 x = 5

E a derivada de v ( x ) é:

d d x v x = d d x ln ⁡ ( cos ⁡ x )

E nesse caso precisamos da regra da cadeia:

d d x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) = d ln ⁡ cos ⁡ x d [ cos ⁡ x ]   . d cos ⁡ x d x = - sen ⁡ x cos ⁡ x = - t a n ⁡ ( x )

Passo 3

Agora sim, podemos substituir tudo na fórmula lá de cima:

f ' x = u x v ' x + u ' x v ( x )

f ' x = 5 x - tan ⁡ x + ( 5 ) ( ln ⁡ cos ⁡ x

f ' x = - 5 x tan ⁡ x + 5   l n ⁡ ( cos ⁡ x )

Pronto!

Resposta

Letra (d).

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