UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P2o
Determine a derivada das funções abaixo
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui
E pediu para determinarmos a derivada dela
mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo, o seno:
A derivada do seno é
Mas, e a derivada de
Aí que tá! O argumento do seno na derivada que conhecemos é apenas, e não ou qualquer outra função polinomial, ou até outra função dentro!
Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia
A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta , a derivada dessa função é:
Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro
E caso tenhamos outra função dentro da função , por exemplo, uma outra função , é só manter o argumento na derivada de e multiplicar pela derivada de .
e é exatamente o que temos aqui!
O argumento do seno é , que “por fora” é uma potência de , e “por dentro” um polinômio simples . Então, nesse caso, para sabermos a derivada do seno dessa coisa, a gente precisa derivar mais esse argumento, aplicando de novo a regra da cadeia. Fica assim ó
É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.
Tranquilo? Não?
Mas calma que vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A função que precisa ser derivada é
A que está mais por fora é a , e a de dentro é a , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando o seno, mantendo o argumento (eu troquei a expressão de dentro por para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de :
Agora precisamos derivar esse !
Passo 3
Nosso é , como comentei contigo lá no passo 1, temos aqui outra função composta. Por fora, temos uma potência de , e potência a gente sabe como derivar! Vou colocar como argumento dessa potência , para facilitar de novo nossa vida ao ver quem está “por dentro”, quando você se acostumar, pode usar a função e dentro direto, ok?
Agora nossa missão é encontrar a derivada de ! Mas é um polinômio bem tranquilo, então a derivada dele sai facinho facinho:
Beleza? Agora é só juntar tudo:
E substituir pela expressão dele em :
Tranquilo?
Passo 4
Agora vamos jogar esse lá na expressão para derivada da nossa função, por era esse pedacinho que faltava!
Tínhamos o seguinte:
E acabamos de calcular , então a expressão para fica assim
Tranquilo?
E é essa nossa resposta!
Espero ter te ajudado! Até a próxima!