UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P2p
Determine a derivada das funções abaixo
Passo 1
Oi, pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui
E pediu a derivada!
Assim que você olhar uma função que tem uma divisão e precisa calcular a derivada dela, precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE! Ok?
A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.
Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções :
A ideia aqui é identificar quem são essas funções e no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do quociente
Só que tem mais um detalhe! Uma das funções que compõe esse quociente é composta!
Isso mesmo! A derivada da função de baixo precisa ser calculada utilizando a regra da cadeia! Isso porque temos um seno elevado à quarta potência! No argumento da potência temos outra função, isso caracteriza uma função composta! Quando o argumento de uma função (polinomial, trigonométrica, exponencial... pode ser qualquer função que conhecemos!) é outra função, então chamamos essa de composta!
Então primeiro vou calcular as derivadas das funções que compõe e numerador e o denominador, para depois substituir na regra do quociente, beleza?
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa função é a seguinte:
A função do numerador vou chamar de :. E a do denominador de : .
Vamos começar derivando a do numerador!
A função que temos é:
Aqui é só aplicar a derivada do cosseno mesmo, aquela da nossa tabela de derivadas fundamentais! Isso porque o argumento dela é só , então essa aqui não é uma função composta
Retomando nossa derivada!
E dando um bizu na tabela, a derivada do cosseno é:
Beleza?
Passo 3
Agora vamos para a derivada do denominador:
A função que “está por fora” é a quarta potência, e ela sabemos derivar se o argumento for apenas :
Só que o argumento da nossa potência não é , é . E por isso precisamos da regra da cadeia! Chamei o argumento de para facilitar nossa, vida, mas pode ser qualquer coisa! Outra função trigonométrica, ou um polinômio...
Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia
A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta , a derivada dessa função é:
Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro
A função de fora é , cuja derivada é , e a de dentro é , cuja derivada é . Então agora é só substituir esses resultados na regra da cadeia:
Tranquilo?
Passo 4
Agora com as derivadas na mão, vamos jogar tudo dentro da regra do quociente!
Relembrando, nossa função era:
Aí chamamos de a função do numerador e de a do denominador. As funções e as derivadas são:
E
Agora precisamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo temos:
Não conseguimos fazer grandes simplificações, mas as multiplicações no numerador e algumas simplificações sim:
Simplificando por temos:
E podemos separar em , para que possamos usar a relação fundamental da trigonometria , saca só
E é essa nossa resposta!
Não ficou lá muito bonita, mas o que importa é que está correta! Então te liga no seguinte: aplicar a regra do produto/quociente não te isenta de ter que aplicar a regra da cadeia em alguma parcela viu! Então minha dica é a seguinte: identifica as partes (seja da razão, seja da multiplicação), deriva elas individualmente (aplica a cadeia quando for preciso) e só depois substitui na regra do quociente (ou produto)
Beleza?
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?