UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.1.7
Determine a derivada (em relação a ) de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a derivada de em relação a . Pra isso, vamos usar algumas propriedades de expoentes e aplicar a Regra da Cadeia na derivação.
Relembrando: a Regra da Cadeia nos diz que a derivada de uma função composta , vai ser o produto entre a derivada da função de dentro, , pela derivada da função de fora aplicada na de dentro. Ou seja:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar começar definindo . Isso é verdade por a função inversa do ln, então elas acabam se cancelando e dando , beleza? Assim, se a gente multiplicar o expoente dos dois lados por , vamos ter:
Agora vamos derivar usando a Regra da Cadeia:
Lembra que precisamos calcular a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Então:
Pra , vamos usar a regra do produto na derivação (derivada do primeiro termo vezes o segundo mais derivada do segundo termo vezes o primeiro):
Assim, juntando tudo, temos:
Mas como a gente definiu lá em cima , então:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉