UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Trabalho C1 - 2022.1, Questão 2ef
Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
O enunciado nos dá duas funções
precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo, a regra do produto e a regra da cadeia, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!
Passo 2
Vamos calcular primeiro a derivada de
aqui temos uma função que é razão de duas outras da forma , portanto, vamos utilizar a regra do quociente da forma
usando que e que , temos
Essas derivadas podem ser obtidas usando a regra do tombo como
e, também que
pois a derivada de constantes é sempre zero! Temos então que
Precisamos agora calcular a segunda derivada! Vamos lá!
Passo 3
Precisamos calcular a derivada do resultado que obtivemos no último passo, ou seja
por simplicidade, vamos usar que
pois assim, ao invés de usarmos a regra do quociente e da cadeia, vamos apenas utilizar a regra da cadeia! Se queremos derivar uma função composta da forma , usamos a regra da cadeia como
em nosso caso temos que e que , portanto, a nossa derivada se torna
em que usei a regra do tombo! Simplificando, temos que
ou seja, a nossa derivada de segunda ordem é
Vamos para a segunda alternativa agora! Vem comigo!
Passo 4
Temos que calcular agora a derivada da função
temos aqui o produto de duas funções da forma , para resolvermos essa derivada iremos usar a regra do produto
usando que e , temos que
se usarmos agora que , podemos aplicar a regra do tombo
Podemos juntar alguns termos para obter
Vamos agora calcular a derivada de segunda ordem! Vem comigo!
Passo 5
Temos que calcular a derivada do resultado que obtivemos anteriormente, temos que
em que usei a regra do produto! Nós já calculamos antes que
Agora, precisamos de
como temos que , pela regra do tombo, obtemos
Finalmente, a nossa derivada de segunda ordem é
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
e
e