Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

Ver Teoria
Exercício 163123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 22

22. Determine a e b reais para que as curvas y = a x 2 + 6 x + b e y = 2 sin 2 ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 sejam tangentes no ponto 0,2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foram dadas duas curvas y onde y = a x 2 + 6 x + b e y = 2 sin 2 ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 .

A partir dessas curvas queremos determinar a e b de modo que essas curvas sejam tangentes no ponto 0,2 .

Parece difícil? 🤔

Para duas curvas serem tangentes entre si em um ponto, podemos afirmar que a suas derivadas são as mesmas.

Então o que temos que fazer é calcular as derivadas de y das duas curvas e igualá-las, assim, substituindo o ponto 0,2 vamos obter uma equação de a e b .

Para completar um sistema, substituímos o ponto na equação y = a x 2 + 6 x + b .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar aplicando o ponto 0,2 em y = a x 2 + 6 x + b

y = a x 2 + 6 x + b → 2 = a 0 2 + 6 0 + b

2 = b

b = 4

Agora calculando as derivadas de y para obter a de alguma forma...

Para y 1 = a x 2 + 6 x + b

y 1 ' = d a x 2 + 6 x + b d x

Aplicando a regra da cadeia, chegamos em

y 1 ' = d a x 2 + 6 x + b d x d u d u

y 1 ' = 2 a x + 6 1 2 u

Voltando u para a x 2 + 6 x + b

y 1 ' = 2 a x + 6 1 2 a x 2 + 6 x + b

y 1 ' = a x + 3 a x 2 + 6 x + b

Agora para y 2 = 2 sin 2 ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1

y 2 ' = d 2 sin 2 ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 d x = 2 d sin 2 ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 d x

Novamente pela regra da cadeia...

y 2 ' = 2 d sin ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 d x d v 2 d v

Na derivada de sin ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 temos que aplicar a regra da cadeia novamente

y 2 ' = 2 d x 2 + π 2 x 2 + 1 d x d sin ⁡ p d p d v 2 d v

E por último, a derivada de x 2 + π 2 x 2 + 1 é obtida a partir da regra do quociente...

y 2 ' = 2 d x 2 + π 2 d x · x 2 + 1 - x 2 + π 2 · d x 2 + 1 d x x 2 + 1 2 d sin ⁡ p d p d v 2 d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo

y 2 ' = 2 2 x · x 2 + 1 - x 2 + π 2 · 2 x x 2 + 1 2 cos ⁡ p 2 v

Voltando v para sin ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 e p para x 2 + π 2 x 2 + 1

y 2 ' = 2 2 x x 2 + 1 - x 2 + π 2 x 2 + 1 2 cos ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 2 sin ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1

y 2 ' = 8 x 1 + π 2 x 2 + 1 2 cos ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 sin ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Igualando y 1 ' e y 2 ' sabendo que b = 4 ...

y 1 ' = y 2 '

a x + 3 a x 2 + 6 x + 4 = 8 x 1 + π 2 x 2 + 1 2 cos ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1 sin ⁡ x 2 + π 2 x 2 + 1

Fazendo x = 0 para satisfazer o ponto 0,2

a 0 + 3 a 0 2 + 6 0 + 4 = 8 0 1 + π 2 0 2 + 1 2 cos ⁡ 0 2 + π 2 0 2 + 1 sin ⁡ 0 2 + π 2 0 2 + 1

3 2 = 0

Portanto, com isso vemos que não existe um possível valor para a com que faça y 1 e y 2 sejam tangentes...

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a = ∄

b = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função. y = r r 2 + 1
Encontre a derivada da função. G y = y - 1 4 y 2 + 2 y 5
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x β x