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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 23

23. Determine a , b e c reais para que os gráficos das funções f x = x 2 + a x + b e g ( x ) = x 3 - 2 x 2 3 + c sejam tangentes no ponto 1,2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foram dadas duas curvas f x = x 2 + a x + b e g ( x ) = x 3 - 2 x 2 3 + c e nosso objetivo é obter a , b e c de modo que f x e g x sejam tangentes no ponto 1,2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que podemos fazer é aplicar o ponto 1,2 em f x e g x para ver quais informações podemos tirar disso.

Depois, para que f x e g x sejam tangentes em um ponto, f ' x e g ' x devem ser iguais nesse ponto, então temos que calcular as derivadas de f e g e igualá-las para obter mais informações.

Sacou? Bora lá! 😬

Passo 2

Começando pela função f x = x 2 + a x + b .

Aplicando o ponto 1,2 , temos

2 = 1 2 + a 1 + b → a + b = 1

De g ( x ) = x 3 - 2 x 2 3 + c temos

2 = 1 3 - 2 1 2 3 + c → c = 1

Portanto, já encontramos o primeiro resultado! c = 1

O próximo passo é derivar f

f x = x 2 + a x + b

f ' x = 2 x + a

Fazendo o mesmo para g pela regra da cadeia...

g ( x ) = x 3 - 2 x 2 3 + c

g ' x = d x 3 - 2 x 2 3 + c d x = d x 3 - 2 x 2 d x · d u 3 d u

Novamente aplicando a regra da cadeia no termo x 3 - 2 x 2

g ' x = d x 3 - 2 x d x · d v 2 d v · d u 3 d u

g ' x = 3 x 2 - 2 · 2 v · 1 3 u 2 3

Voltando u para x 3 - 2 x 2 e v para x 3 - 2 x

g ' x = 3 x 2 - 2 · 2 x 3 - 2 x · 1 3 x 3 - 2 x 2 2 3

g ' x = 2 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x 3 x 3 - 2 x 4 3

g ' x = 2 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x 3 x 3 - 2 x x 3 - 2 x 3

g ' ( x ) = 2 3 x 2 - 2 3 x 3 - 2 x 3

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Igualando f ' x e g ' x , temos

f ' x = g ' x

2 x + a = 2 3 x 2 - 2 3 x 3 - 2 x 3 → 2 1 + a = 2 3 1 2 - 2 3 1 3 - 2 1 3

2 + a = 2 3 - 1

a = - 2 3 - 2

a = - 8 3

Como vimos que a + b = 1 , então

a + b = 1 → - 8 3 + b = 1

b = 11 3

Portanto, encontramos que

a = - 8 3 b = 11 3 c = 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a = - 8 3 b = 11 3 c = 1

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