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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Exercício 414123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

7) Dizemos que x = a é um ponto de inflexão de uma função f se a concavidade de f muda em x = a .

A soma dos valores dos pontos de inflexão de f x = x 2 e - 7 x é igual a:

  1. 4 7
  2. 6 7
  3. 1 7
  4. 1

Passo 1

Para buscarmos candidatos a pontos de inflexão vamos derivar 2 vezes e igualar a zero. Começando por derivar:

f x = x 2 e - 7 x         →             f ' x = ( x 2 e - 7 x ) '

Aplicando a regra do produto :

f ' x = x 2 ' e - 7 x + e - 7 x ' x 2 →

Derivando esses dois carinhas e sim, aplicando a regra da cadeia...

f ' x = 2 x e - 7 x - 7 e - 7 x x 2

Agora, calculemos a segunda derivada!

Passo 2

f ' ' x = 2 x e - 7 x - 7 e - 7 x x 2 ' →

Aplicando a derivada da subtração...

f ' ' x = 2 x e - 7 x ' - 7 e - 7 x x 2 ' →

Derivando novamente aplicando as leis do produto...

f ' ' x = 2 x ' e - 7 x + e - 7 x ' 2 x - 7 x 2 ' e - 7 x + e - 7 x ' x 2 →

f ' ' x = 2 e - 7 x - 14 x e - 7 x - 7 2 x e - 7 x - 7 e - 7 x x 2 →

f ' ' x = 2 e - 7 x - 14 x e - 7 x - 14 x e - 7 x + 49 e - 7 x x 2 →

f ' ' x = 2 e - 7 x - 14 x e - 7 x - 14 x e - 7 x + 49 e - 7 x x 2 →

Simplificando mais um pouquinho e não morra de tédio...

f ' ' x = 2 e - 7 x - 28 x e - 7 x + 49 x 2 e - 7 x →

f ' ' x = e - 7 x 2 - 28 x + 49 x 2

Passo 3

Precisamos encontra os x que torna essa derivada igual a 0 . A exponencial nunca se anula, temos que...

2 - 28 x + 49 x 2 = 0   →

x = 28 ± 28 2 - 8 ⋅ 49 98 = 28 ± 4 ⋅ 7 2 - 8 ⋅ 7 ⋅ 7 98

x = 4 ⋅ 7 ± 16 ⋅ 7 2 - 8 ⋅ 7 2 7 2 ⋅ 2 =

x = 4 ⋅ 7 ± 8 ⋅ 7 2 7 2 ⋅ 2 =

x = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ± 7 ⋅ 2 2 7 2 ⋅ 2 = 2 ± 2 7         →                 x 1 = 2 7 + 2 7 x 2 = 2 7 - 2 7

Analisando o sinal da segunda derivada (que só depende do sinal da parábola 2 - 28 x + 49 x 2 ), podemos ver que x 1 e x 2 são exatamente onde a função f troca de concavidade, logo, são pontos de inflexão:

x 1 + x 2 = 4 7

Resposta

  1. 4 7

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