UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 1, Questão 4b
Encontre e das curvas abaixo:
(a) e
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar as derivadas e da curva parametrizada e .
Bom, a regra da Cadeia nos diz que . Se , podemos isolar assim:
Essa equação nos permite calcular a inclinação da tangente para uma curva paramétrica sem ter que eliminar o parâmetro . Para encontrar a derivada segunda (), mudamos por na equação acima e encontramos:
Vamos calcular as duas derivadas que a questão pede através dessas equações. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de em relação a :
Agora calculamos a derivada de em relação a :
Juntando tudo na expressão , temos:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada segunda . Primeiro, fazendo a derivada de em relação a :
Usando a regra de derivação do quociente, temos:
Aplicando a distributiva, obtemos:
Agora calculando para , temos:
Juntando tudo na expressão da derivada segunda:
Fazendo a divisão de frações e simplificando:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉