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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Provas - Profº Filipe Iori - P1 2022.2, Questão 2a

2) Encontre a derivada de y = f x :

a) y 2 = 310 x 2 π - sech ⁡ x 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

3

Nesse problema foi dada uma função implícita y 2 = 310 x 2 π - sech ⁡ x 3 e nosso objetivo é calcular a derivada de y = f x , ou seja, d y d x .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse caso podemos simplificar a equação tirando a raiz dos dois lados.

Dessa forma podemos isolar y em um lado da igualdade e calcular a derivada normalmente.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Tirando a raiz nos dois lados, temos

y 2 = 310 x 2 π - sech ⁡ x 3

y = 310 x 2 π - sech ⁡ x 3

Podemos começar aplicando a regra da cadeia

d y d x = d 310 x 2 π - sech ⁡ x 3 d x = d 310 x 2 π - sech ⁡ x 3 d x · d u d u

Aplicando a regra do quociente na derivada de 310 x 2 π - sech ⁡ x 3 temos

d y d x = d 310 x 2 d x · π - sech ⁡ x 3 - 310 x 2 · d π - sech ⁡ x 3 d x π - sech ⁡ x 3 2 · d u d u

Bacana, não é? 😬

Passo 3

Para calcular a derivada d 310 x 2 d x podemos aplicar as propriedades dos expoentes e a regra da cadeia

d 310 x 2 d x = d e ln ⁡ 310 x 2 d x = 155 x 2 · 2 x 2 + 1 · x · ln ⁡ 310

Já para a derivada d π - sech ⁡ x 3 d x aplicamos apenas a regra da cadeia

d π - sech ⁡ x 3 d x = sech ⁡ x 3 · tanh ⁡ x 3 · 3 x 2

E por último, a derivada d u d u pelo método de derivação polinomial

d u d u = 1 2 u

Substituindo os resultados das derivadas em d y d x , vamos obter

d y d x = d 310 x 2 d x · π - sech ⁡ x 3 - 310 x 2 · d π - sech ⁡ x 3 d x π - sech ⁡ x 3 2 · d u d u

d y d x = 155 x 2 · 2 x 2 + 1 · x · ln ⁡ 310 · π - sech ⁡ x 3 - 310 x 2 · sech ⁡ x 3 · tanh ⁡ x 3 · 3 x 2 π - sech ⁡ x 3 2 · 1 2 u

Simplificando...

d y d x = 155 x 2 2 x 2 + 1 x ln ⁡ 310 · π - sech ⁡ x 3 - 310 x 2 sech ⁡ x 3 tanh ⁡ x 3 3 x 2 π - sech ⁡ x 3 2 1 2 310 x 2 π - sech ⁡ x 3

d y d x = 155 x 2 2 x 2 + 1 x ln ⁡ 310 · π - sech ⁡ x 3 - 310 x 2 sech ⁡ x 3 tanh ⁡ x 3 3 x 2 π - sech ⁡ x 3 2 π - sech ⁡ x 3 2 310 x 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d y d x = 155 x 2 2 x 2 + 1 x ln ⁡ 310 · π - sech ⁡ x 3 - 310 x 2 sech ⁡ x 3 tanh ⁡ x 3 3 x 2 π - sech ⁡ x 3 2 π - sech ⁡ x 3 2 310 x 2

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